圆的蝴蝶定理

蝴蝶定理是欧氏几何中的一个经典定理，它描述的是在一个圆内，如果过圆内一点M引出三条弦AB、CD、PQ，且M是PQ的中点，那么直线AD与直线BC交直线PQ于点E和F时，ME=MF。这个定理最初出现在1815年，由英国中学数学教师W.G.霍纳提出证明。

蝴蝶定理的证明可以通过多种方法，其中霍纳的证明方法较为经典，具体如下：

1. 作OU⊥AD，OV⊥BC，则U、V分别是AD、BC的中点。

2. 注意到∠EUO=∠EMO=90°，从而E、M、O、U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM。

3. 同理，可知∠FOM=∠FVM。

4. 注意到△ADM∽△CBM，且U、V是对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。

蝴蝶定理的推广包括：

M作为圆内弦的交点可以移到圆外。

圆可以改为任意圆锥曲线。

将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”。

蝴蝶定理不仅在初等数学中有着重要地位，而且在更高级的数学领域，如解析几何和射影几何中也有广泛的应用。

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